Los paralelogramos equiángulos guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados.
Sean AC, CF paralelogramos equiángulos que tienen el ángulo BCD igual al ángulo ECG .
Digo que el paralelogramo DC guarda con el paralelogramo CF la razón compuesta de las razones de sus lados.
Pues coloqúense de modo que BC esté en línea recta con CG; entonces DC está en línea recta con CE.
Complétese el paralelogramo DG , póngase una recta K y resulte que, como BC es a CG, así K a L , y como DC es a CE, así L a M [Prop. VI.12].
Entonces, las razones de K a L y de L a M son las mismas que las razones de los lados, a saber: de BC a CG y de DC a CE. Pero la razón de K a M se compone de la razón de K a L y de la de L a M; de modo que también K guarda con M la razón compuesta de las de los lados. Y, dado que, como BC es a CG, así el paralelogramo AC al paralelogramo CH [Prop. VI.1], mientras que, como BC es a CG, así K a L, entonces, también, como K es a L, así AC a CH [Prop. V.11]. Por otra parte, dado que, como AC es a CE, así el paralelogramo CH al paralelogramo CF [Prop. VI.1], pero, como AC es a CE, así L a M, entonces, también, como L es a M, así el paralelogramo CH al paralelogramo CF [Prop. V.11].
Puesto que se ha demostrado que como K es a L, así el paralelogramo AC al paralelogramo CH, y, como L es a M, así el paralelogramo CH al paralelogramo CF, entonces, por igualdad, como K es a M, así el paralelogramo AC al paralelogramo CF. Pero K guarda con M la razón compuesta de las de los lados; entonces AC guarda con CF la razón compuesta de las de sus lados.
Por consiguiente, los paralelogramos de ángulos iguales guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados.
Q. E. D.