Si se divide en dos partes iguales un ángulo de un triángulo, y la recta que corta el ángulo corta también la base, los segmentos de la base guardarán la misma razón que los restantes lados del triángulo; y, si los segmentos de la base guardan la misma razón que los lados restantes del triángulo, la recta trazada desde el vértice hasta la sección dividirá en dos partes iguales el ángulo del triángulo.
Sea ABC el triángulo , y divídase el ángulo BAC en dos partes iguales por la recta AD .
Digo que, como BD es a CD, así BA a AC.
Pues trácese por el punto C, CE paralela a DA y, prolongada BA, coincida con ella en E .
Ahora bien, dado que la recta AC ha incidido sobre las paralelas AD, EC, entonces el ángulo ACE es igual al ángulo CAD [Prop. I.29]. Pero se ha supuesto que el ángulo CAD es igual al ángulo BAD; así pues el ángulo BAD es también igual al ángulo ACE. Asimismo, dado que la recta BAE ha incidido sobre las paralelas AD, EC, el ángulo externo BAD es igual al interno AEC [Prop. I.29]. Pero se ha demostrado que el ángulo AEC es también igual al ángulo BAD, por tanto el ángulo ACE es también igual al ángulo AEC; de manera que el lado AE es también igual al lado AC [Prop. I.6].
Y puesto que se ha trazado la recta AD paralela a uno de los lados, EC, del triángulo BCE, entonces, proporcionalmente, como BD es a DC, así BD a AE [Prop. VI.2].
Pero AE es igual a AC. Por tanto, como BD es a DC, así BA a AC.
Ahora bien, sea BA a AC como BD a DC y trácese AD.
Digo que el ángulo BAC ha sido dividido en dos partes iguales por la recta AD.
Pues, siguiendo la misma construcción, dado que, como BD es a DC así BA a AC, pero también como BA es a DC, así BA a AE —porque se ha trazado AD paralela a uno de los lados EC del triángulo BCE [Prop. VI.2]—, entonces, como BD es a AC, así también BA a AE [Prop. V.11]. Por tanto AC es igual a AE [Prop. V.9]; de manera que el ángulo AEC es también igual al ángulo AEC [Prop. I.5]. Pero el ángulo AEC es igual al ángulo externo BAD [Prop. I.29], y el ángulo ACE es igual al ángulo alterno BAD [Prop. I.29]; así pues el ángulo BAD es también igual al ángulo CAD. Por tanto el ángulo BAC ha sido dividido en dos partes iguales por la recta AD.
Por consiguiente, si se divide en dos partes iguales un ángulo de un triángulo, y la recta que corta el ángulo corta también la base, los segmentos de la base guardan la misma razón que los restantes lados del triángulo. Y si los segmentos de la base guardan la misma razón que los lados restantes del triángulo, la recta trazada desde el vértice hasta la sección dividirá en dos partes iguales el ángulo del triángulo.
Q. E. D.