Si dos triángulos tienen un ángulo del uno igual a un ángulo del otro y tienen proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos a los que subtienden los lados correspondientes.
Sean ABC , DEF dos triángulos que tienen un ángulo, BAC, igual a un ángulo, EDF, y tienen proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales, esto es: como BA es a AC, así ED a DF.
Digo que el triángulo ABC y el triángulo DEF son equiángulos y tendrán el ángulo ABC igual al ángulo DEF y el ángulo ACB al ángulo DFE.
Constrúyase, pues, en la recta DF y en sus puntos D, F, el ángulo FDG igual a uno de los ángulos BAC, EDF, y el ángulo DFG igual al ángulo ACB [Prop. I.23]; entonces el ángulo restante correspondiente a B es igual al ángulo restante correspondiente a G [Prop. I.32].
Por tanto, el triángulo ABC y el triángulo DGF son equiángulos. Luego, proporcionalmente, como BD es a AC, así GD a DF [Prop. VI.4]. Pero se ha supuesto también que como BD es a AC, así ED a DF; luego también como ED es a DF, así GD a DF [Prop. V.11]. Por tanto ED es igual a DG [Prop. V.9] y DF es común; entonces los dos lados ED, DF, son iguales a los dos lados GD, DF; y el ángulo EDF es igual al ángulo GDF; luego la base EF es igual a la base GF, y el triángulo DEF es igual al triángulo GDF, y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes, aquellos a los que subtienden los lados iguales [Prop. I.4]. Por tanto el ángulo DFG es igual al ángulo DFE, y el ángulo DGF al ángulo DEF. Pero el ángulo DFG es igual al ángulo ACB; luego el ángulo ACB es igual al ángulo DFE. Ahora bien, se ha supuesto que también el ángulo BAC es igual al ángulo EDF; por tanto, el ángulo restante correspondiente a B es igual al ángulo restante correspondiente a E [Prop. I.32]; luego el triángulo ABC y el triángulo DEF son equiángulos.
Por consiguiente, si dos triángulos tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro y tienen proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos a los que subtienden los lados correspondientes.
Q. E. D.