Si dos triángulos tienen un ángulo de uno igual a un ángulo de otro y tienen proporcionales los lados que comprenden los otros ángulos, y tienen los restantes ángulos parejamente menores o no menores que un recto, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos que comprenden los lados proporcionales.
Sean ABC , DEF dos triángulos que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro: el BAC al EDF, y los lados que comprenden los otros ángulos ABC, DEF, proporcionales, a saber: como AB es a BC, así DE a EF; y tengan, en primer lugar, los restantes ángulos correspondientes a C, F menores que un recto.
Digo que el triángulo ABC y el triángulo DEF son equiángulos y el ángulo ABC será igual al ángulo DEF, y el ángulo restante, es decir, el correspondiente a C, igual al ángulo restante correspondiente a F.
Pues si el ángulo ABC no es igual al ángulo DEF, uno de ellos es mayor. Sea mayor el ángulo ABC. Y constrúyase en la recta AB y en su punto B el ángulo ABG igual al ángulo DEF [Prop. I.23] .
Y dado que el ángulo A es igual al D y el ángulo ABG al ángulo DEF, entonces el ángulo restante AGB es igual al ángulo restante DFE [Prop. I.32]. Luego el triángulo ABG y el triángulo DEF son equiángulos. Por tanto, como AB es a BG, así DE a EF. Pero se ha supuesto que, como DE es a EF, AB es a BC; entonces AB guarda la misma razón con cada una de las rectas BC, BG [Prop. V.11]; por tanto BC es igual a BG [Prop. V.9]. De modo que también el ángulo correspondiente a C es igual al ángulo BGC [Prop. I.5]. Ahora bien, el ángulo correspondiente a C se ha supuesto menor que un recto; por tanto el ángulo BGC es también menor que un recto; de modo que el adyacente a él, AGB, es mayor que un recto [Prop. I.13]. Pero se ha demostrado que es igual al correspondiente a F; entonces el correspondiente a F es también mayor que un recto; pero se ha supuesto menor que un recto, lo cual es absurdo. Por tanto no es el caso de que el ángulo ABC no sea igual al ángulo DEF; luego es igual. Y el ángulo correspondiente a A es igual al ángulo correspondiente a D; así pues, el ángulo restante correspondiente a C es igual al ángulo restante correspondiente a F [Prop. I.32]. Por tanto el triángulo ABC y el triángulo DEF son equiángulos.
Pero supóngase a su vez que cada uno de los ángulos correspondientes a C, F no son menores que un recto.
Digo ahora que también en este caso el triángulo ABC y el triángulo DEF son equiángulos.
Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que BC es igual a BG; de modo que el ángulo correspondiente a C es también igual al ángulo BGC [Prop. I.5]. Pero el ángulo correspondiente a C no es menor que un recto. Entonces el ángulo BGC tampoco es menor que un recto. Así que los dos ángulos del triángulo BGC no son menores que dos rectos, lo cual es imposible [Prop. I.17]. Por tanto, una vez más no es el caso de que el ángulo ABC no sea igual al ángulo DEF; luego es igual. Pero el ángulo correspondiente a A es igual al ángulo correspondiente a D; así pues, el ángulo restante correspondiente a C es igual al ángulo restante correspondiente a F [Prop. I.32]. Luego el triángulo ABC y el triángulo DEF son equiángulos.
Por consiguiente, si dos triángulos tienen un ángulo de uno igual a un ángulo de otro y tienen proporcionales los lados que comprenden los otros ángulos y tienen los restantes ángulos parejamente menores o no menores que un recto, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos que comprenden los lados proporcionales.
Q. E. D.