SiSi se traza una recta paralela a uno de los lados de un triángulo, cortará proporcionalmente los lados del triángulo. Y si se cortan proporcionalmente los lados de un triángulo, la recta que une los puntos de sección será paralela al lado restante del triángulo.
Trácese, pues, DE paralela a uno de los lados , BC, del triángulo ABC .
Digo que como BD es a DA, así CE a EA.
Pues trácense BE, CD .
Entonces el triángulo BDE es igual al triángulo CDE: porque están sobre la misma base, DE, y entre las mismas paralelas, DE, BC [Prop. I.38]; y el triángulo ADE es algún otro triángulo. Pero las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud [Prop. V.7]; entonces, como el triángulo BDE es al triángulo ADE, así el triángulo CDE es al triángulo ADE. Ahora bien, como el triángulo BDE es al triángulo ADE, así BD es a DA: porque teniendo la misma altura, a saber: la perpendicular trazada desde E hasta AB, son uno a otro como sus bases [Prop. VI.1]. Por la misma razón, como el triángulo CDE es al triángulo ADE, así CE a EA; por tanto, como BD es a DA, así también CE a EA [Prop. V.11].
Por otra parte córtense proporcionalmente los lados AB, AC del triángulo ABC, de modo que, como BD es a DA, así CE a EA, y trácese DE.
Digo que DE es paralela a BC.
Pues, siguiendo la misma construcción, dado que, como BD es a DA, así CE a EA, mientras que, como BD es a LA, así el triángulo BDE es al triángulo ADE, y, como CE es a EA, así el triángulo CDE es al triángulo ADE [Prop. VI.1], entonces, como el triángulo BDE es al triángulo ADE, así el triángulo CDE es al triángulo ADE [Prop. V.11]. Por tanto cada uno de los triángulos, BDE, CDE, guarda la misma razón con el triángulo ADE. Así pues el triángulo BDE es igual al triángulo CDE [Prop. V.9]; y están sobre la misma base, DE. Pero los triángulos que están sobre la misma base, están también entre las mismas paralelas [Prop. I.39], por tanto DE es paralela a BC.
Por consiguiente, si se traza una recta paralela a uno de los lados de un triángulo, cortará proporcionalmente los lados del triángulo. Y si se cortan proporcionalmente los la dos de un triángulo, la recta que une los puntos de sección será paralela al lado restante del triángulo.
Q. E. D.