De todos los paralelogramos aplicados a una misma recta y deficientes en figuras paralelogramas semejantes y situadas de manera semejante al construido a partir de la mitad de la recta, el paralelogramo mayor es el que es aplicado a la mitad de la recta y es semejante al defecto.
Sea AB la recta y divídase en dos partes iguales en el punto C y aplíquese a la recta AB el paralelogramo AD deficiente en la figura paralelograma DB construida sobre la mitad de AB, es decir CB .
Digo que todos los paralelogramos aplicados a AB y deficientes en las figuras semejantes y situadas de manera semejante a AB, el mayor es AD.
Pues aplíquese a la recta AB el paralelogramo DF deficiente en la figura paralelograma FB semejante y situada de manera semejante a DB .
Digo que DA es mayor que AF.
Pues como DB es un paralelogramo semejante al paralelogramo FB, están en torno a la misma diagonal [Prop. VI.26]. Trácese su diagonal DB y constrúyase la figura .
Pues bien, dado que CF es igual a FE y FB es común [Prop. I.43], entonces el paralelogramo entero CH es igual al paralelogramo entero KE. Pero CH es igual a CG, porque AC también es igual a CB [Prop. I.36]. Por tanto GC es también igual a EK. Añádase a ambos CF; entonces el paralelogramo entero AF es igual al gnomon AMN; de modo que el paralelogramo DB, es decir AD, es mayor que el paralelogramo AF.
Por consiguiente, de todos los paralelogramos aplicados a una misma recta y deficientes en figuras paralelogramas semejantes y situadas de manera semejante al construido a partir de la mitad de la recta, el paralelogramo mayor es el aplicado a la mitad de la recta.
Q. E. D.