En los triángulos rectángulos, la figura construida a partir del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de los lados que comprenden el ángulo recto.
Sea ABC el triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto BAC .
Digo que la figura construida a partir de BC es igual a las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de los lados BA, AC.
Trácese la perpendicular AD .
Puesto que se ha trazado la perpendicular AD en el triángulo rectángulo ABC desde el ángulo recto A hasta la base BC, los triángulos ABD, ADC, adyacentes a la perpendicular, son semejantes al triángulo completo ABC y entre sí [Prop. VI.8].
Y puesto que ABC es semejante a ABD, entonces, como CB es a BA, así AB a BD [Def. VI.1]. Ahora bien, dado que tres rectas son proporcionales, como la primera es a la tercera, así la figura construida a partir de la primera es a la figura semejante y construida de manera semejante a partir de la segunda [Cor. Prop. VI.19]. Entonces, como CB es a BD, así la figura construida a partir de CB es a la figura semejante y construida de manera semejante a partir de BA . Por lo mismo, además, como BC es a CD, así la figura construida a partir de BC es a la figura construida a partir de CA . De modo que también, como BC es a BD, DC, así la figura construida a partir de BC a las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de BA, AC. Pero BC es igual a BD, DC; por tanto la figura construida a partir de BC es también igual a las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de BA, AC.
Por consiguiente, en los triángulos rectángulos la figura construida a partir del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de los lados que comprenden el ángulo recto.
Q. E. D.