En los círculos iguales, los ángulos guardan la misma razón que las circunferencias sobre las que están, tanto si están en el centro como si están en las circunferencias.
Sean ABC, DEF los círculos iguales y sean BGC, EHF los ángulos correspondientes a sus centros G, H y BAC, EDF los ángulos correspondientes a sus circunferencias .
Digo que: como la circunferencia BC es a la circunferencia EF, así el ángulo BGC al ángulo EHF y el ángulo BAC al ángulo EDF.
Pues háganse tantas circunferencias sucesivas CK, KL como se quiera iguales a BC y tantas circunferencias sucesivas FM, MN como se quiera, iguales a EF , y trácense GK, GL, HM, HN.
Así pues, como las circunferencias BC, CK, KL son iguales entre sí, los ángulos BGC, CGK, KGL son también iguales entre sí [Prop. III.27]; entonces cuantas veces BL es múltiplo de BC, tantas veces el ángulo BGL es también múltiplo del ángulo BGC. Por lo mismo, también, cuantas veces la circunferencia NE es múltiplo de la circunferencia EF, tantas veces el ángulo NHE es múltiplo también del ángulo EHF. Entonces, si la circunferencia BL es igual a la circunferencia EN, el ángulo BGL es también igual al ángulo EHN [Prop. III.27], y si la circunferencia BL es mayor que la circunferencia EN, el ángulo BGL es también mayor que el ángulo EHN, y si es menor, menor. Gabiendo entonces cuatro magnitudes, las dos circunferencias BC, EF y los dos ángulos BGC, EHF, se han tomado unos equimúltiplos de la circunferencia BC y del ángulo BGC, a saber: la circunferencia BL y el ángulo BGL; y otros equimúltiplos de la circunferencia EF y el ángulo EHF, a saber: la circunferencia EN y el ángulo EHN.
Ahora bien, se ha demostrado que, si la circunferencia BL excede a la circunferencia EN, el ángulo BGL excede también al ángulo EHN, y si es igual, es igual, y si menor, menor. Entonces, como la circunferencia BC es a la circunferencia EF, así el ángulo BGC al ángulo EHF [Def. V.5]. Pero, como el ángulo BGC es al ángulo EHF, así el ángulo BAC al ángulo EDF; pues son dobles respectivamente. Entonces, como la circunferencia BC es a la circunferencia EF, así el ángulo BGC al ángulo EHF y el ángulo BAC al ángulo EDF.
Por consiguiente, en los círculos iguales, los ángulos guardan la misma razón que las circunferencias sobre las que están, tanto si están en el centro como si están en las circunferencias.
Q. E. D.