En los paralelogramos iguales y equiángulos entre sí, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados, y aquellos paralelogramos equiángulos que tienen los lados que comprenden los ángulos iguales inversamente relacionados, son iguales.
Sean AB, BC paralelogramos iguales y equiángulos que tienen iguales los ángulos correspondientes a B , y pónganse en línea recta los lados DB, BE; entonces FB, BG también están en línea recta [Prop. I.14].
Digo que en los paralelogramos AB, BC, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados, es decir que como DB es a BE, así GB a BF.
Pues complétese el paralelogramo FE . Así pues, dado que el paralelogramo AB es igual al paralelogramo BC, mientras que FE es otro paralelogramo, entonces como el paralelogramo AB es al paralelogramo FE, así el paralelogramo BC al paralelogramo FE [Prop. V.7]. Pero como el paralelogramo AB es al paralelogramo FE, así el lado DB al lado BE [Prop. VI.1], y como el paralelogramo BC es al paralelogramo FE, así el lado GB al lado BF [Prop. VI.1]; entonces, como DB es a BE, así GB a BF [Prop. V.11]. Por tanto, en los paralelogramos AB, BC, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados.
Ahora bien, sea GB a BF como DB es a BE.
Digo que el paralelogramo AB es igual al paralelogramo BC.
Pues dado que, como DB es a BE, así GB a BF, mientras que, como DB es a BE, así el paralelogramo AB al paralelogramo FE [Prop. VI.1], y como GB es a BF, así el paralelogramo BC al paralelogramo FE [Prop. VI.1], entonces, como AB es a FE, así BC a FE [Prop. V.11]; por tanto el paralelogramo AB es igual al paralelogramo BC [Prop. V.9].
Por consiguiente, en los paralelogramos iguales y equiángulos, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados, y aquellos que tienen los lados que comprenden los ángulos iguales inversamente relacionados, son iguales.
Q. E. D.