En los triángulos iguales que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados. Y aquellos triángulos que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro cuyos lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados, son iguales.
Sean ABC, ADE triángulos iguales que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro, a saber: el ángulo BAC al ángulo DAE .
Digo que en los triángulos ABC, ADE, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados, es decir, que como CD es a AD, así EA a AB.
Pues hágase de modo que CA esté en línea recta con AD; entonces EA está también en línea recta con AB [Prop. I.14]. Y trácese BD .
Así pues, dado que el triángulo ABC es igual al triángulo ADE y BAD es otro triángulo, entonces, como el triángulo CAB es al triángulo BAD, así el triángulo EAD es al triángulo BAD [Prop. V.7].
Pero como el triángulo CAB es al triángulo BAD, así la base CA es a la base AD [Prop. VI.1], y, como el triángulo EAD es al triángulo BAD, así la base EA a la base AB. Entonces, como CA es a AD, así EA a AB. Por tanto en los triángulos ABC, ADE, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados.
Pero, ahora, estén inversamente relacionados los lados de los triángulos ABC, ADE y sea EA a AB como CA a AD.
Digo que el triángulo ABC es igual al triángulo ADE.
Pues, trazada de nuevo BD, dado que, como CA es a AD, así EA a AB, mientras que, como CD es a AD, así el triángulo ABC al triángulo BAD, y, como EA es a AB, así el triángulo EAD al triángulo BAD [Prop. VI.1], entonces, como el triángulo ABC es al triángulo BAD, así el triángulo EAD al triángulo BAD [Prop. V.11]. Así; pues, cada uno de los triángulos ABC, EAD guardan la misma razón con el triángulo BAD. Por tanto el triángulo ABC es igual al triángulo EAD [Prop. V.9].
Por consiguiente, en los triángulos iguales que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados; y aquellos triángulos que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro, cuyos lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados, son iguales.
Q. E. D.