Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, o bien formará dos rectos o bien ángulos iguales a dos rectos.
Así pues, forme una recta cualquiera ΑΒ levantada sobre la recta CD los ángulos ∠CΒΑ, ∠ΑΒD . Digo que los ángulos ∠CΒΑ, ∠ΑΒD son o bien dos rectos o suplementarios.
En efecto, si ∠CΒΑ = ∠ΑΒD, son dos rectos [Def. 10]. Pero si no , trácese desde el punto Β la recta ΒΕ que forme ángulos rectos con CD [Prop. I.11]; entonces los ángulos ∠CΒΕ, ∠ΕΒD son dos rectos; y dado que ∠CΒΕ=∠CΒΑ+∠ΑΒΕ, añádase al uno y a los otros el ángulo ∠ΕΒD; entonces ∠CΒΕ+∠ΕΒD=∠CΒΑ+∠ΑΒΕ+∠ΕΒD [N.C. 2]. Como ∠DBA=∠DΒΕ+∠ΕΒΑ añádase al uno y a los otros el ángulo ∠ΑΒC; entonces ∠DΒΑ+∠ΑΒC=∠DΒΕ+∠ΕΒΑ+∠ΑΒC [N.C. 2]. Pero se ha demostrado que también ∠CΒΕ+∠ΕΒD=∠CΒΑ+∠ΑΒΕ+∠ΕΒD; ahora bien, las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí [N.C. 1]; por tanto, ∠CΒΕ+∠ΕΒD=∠DΒΑ+∠ΑΒC. Pero los ángulos ∠CΒΕ, ∠ΕΒD son suplementarios; por tanto, los ángulos ∠DΒΑ, ∠ΑΒC son también suplementarios.
Q. E. D.