Construir un triángulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas. Pero es necesario que dos de las rectas tomadas juntas de cualquier manera sean mayores que la restante.
Sean a, b, c los tres segmentos dados, y dos de estos, tomados de cualquier manera, sean mayores que el restante: a + b ⊐ c; a + c ⊐ b; y además b + c ⊐ a . Así pues, hay que construir un triángulo con lados iguales a a, b, c.
Póngase una recta DΕ, limitada por D e ilimitada en la dirección de Ε , y hágase DF = a, FG = b y GH = c [Prop. I.3]; y con el centro F y el radio FD descríbase el círculo DΚL ; asimismo, con el centro G y el radio GH descríbase el círculo ΚLH , y trácense ΚF, ΚG . Digo que se ha construido el triángulo △ΚFG con tres segmentos iguales a a, b, c.
Pues como el punto F es el centro del círculo DΚL, FD = FΚ; pero FD = a, entonces ΚF = a. Y como el punto G es el centro del círculo ΑΚH, GH = GΚ: pero GH = c; entonces ΚG = c. Pero también FG = b; luego los tres segmentos ΚF, FG, GΚ, son iguales a los tres segmentos a, b, c.
Q. E. D.