Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.
Sea ΑΒ el segmento dado . Así pues, hay que construir sobre el segmento ΑΒ un triángulo equilátero [Def. I.20].
Descríbase con el centro Α y el radio ΑΒ el círculo ΒCD [Post. 3], y con el centro Β y el radio ΒΑ descríbase a su vez el círculo ΑCΕ [Post. 3], y a partir del punto C donde los círculos se cortan entre sí, trácense los segmentos CΑ, CΒ hasta los puntos Α, Β [Post. 1]
. Y puesto que el punto Α es el centro del círculo CDΒ, ΑC = ΑΒ [Def. 15]; puesto que el punto Β es a su vez el centro del círculo CΑΕ, ΒC = ΒΑ [Def. 15]. Ahora bien, las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí [N.C. 1]; por tanto, CΑ = CΒ; luego los tres CΑ, ΑΒ, ΒC son iguales entre sí.
Q. E. D.