Trazar un cuadrado a partir de un segmento dado.
Sea ΑΒ el segmento dado .
Así pues, hay que trazar un cuadrado a partir de ΑΒ.
Trácese la recta ΑC perpendicular a la recta ΑΒ en su punto Α , y hágase ΑD = ΑΒ ; y por el punto D trácese DΕ paralela a ΑΒ , y por el punto Β trácese ΒΕ paralela a ΑD [Prop. I.31]. Entonces ▱ΑDΕΒ es un paralelogramo; por tanto, ΑΒ = DΕ, y ΑD = ΒΕ [Prop. I.34], Pero ΑΒ = ΑD; luego los cuatro lados ΒΑ, ΑD, DΕ, ΕΒ son iguales entre sí; entonces ▱ΑDΕΒ es equilátero.
Además digo que también es rectangular. Pues, dado que la recta ΑD incide sobre las paralelas ΑΒ, DΕ, entonces los ángulos ∠ΒΑD, ∠ΑDΕ son suplementarios [Prop. I.29]. Pero el ángulo ∠ΒΑD es recto; por tanto, el ángulo ∠ΑDΕ también es recto. Ahora bien, en las áreas de paralelogramos los lados y ángulos opuestos son iguales entre sí [Prop. I.34]; por tanto, cada uno de los ángulos opuestos ∠ΑΒΕ, ∠ΒΕD también es recto; luego ▱ΑDΕΒ es rectangular. Pero se ha demostrado que también es equilátero.
Q. E. D.