Los paralelogramos que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas son equivalentes entre sí.
Sean ▱ΑΒCD, ▱ΕΒCF los paralelogramos que están sobre la misma base ΒC y entre las mismas paralelas ΑF, ΒC
.
Digo ▱ΑΒCD = ▱ΕΒCF.
Pues como ▱ΑΒCD es un paralelogramo, ΑD = ΒC [Prop. I.34]. Por lo mismo, ΕF = ΒC; de modo que también ΑD = ΕF [N.C. 1];
y DΕ es común; por tanto, ΑΕ = DF [N.C. 2], Y ΑΒ = DC [Prop. I.34];
entonces ΕΑ = FD, ΑΒ = DC; y ∠FDC = ∠ΕΑΒ, el externo al interno [Prop. I.29];
por tanto, ΕΒ = FC, y △ΕΑΒ = △DFC [Prop. I.4];
quítese de ambos △DGΕ ; entonces ⏢ΑΒGD = ⏢ΕGCF [N.C. 3];
añádase a ambos △GΒC; entonces ▱ΑΒCD = ▱ΕΒCF [N.C. 2].
Q. E. D.