Construir en un ángulo rectilíneo dado un paralelogramo equivalente a un triángulo dado.
Sea △ΑΒC el triángulo dado y ∠D el ángulo rectilíneo dado .
Así pues, hay que construir un paralelogramo equivalente al triángulo △ΑΒC en el ángulo rectilíneo ∠D.
Divídase ΒC en dos por el punto Ε, trácese ΑΕ , y constrúyase en la recta ΕC y en su punto Ε el ángulo ∠CΕF igual al ángulo ∠D [Prop. I.23] , y por el punto Α trácese ΑG paralela a ΕC [Prop. I.31] , y por el punto C trácese CG paralela a ΕF ; entonces ▱FΕCG es un paralelogramo. Y como ΒΕ = ΕC, △ΑΒΕ = △ΑΕC: porque están sobre las bases iguales ΒΕ, ΕC y entre las mismas paralelas ΒC, ΑG [Prop. I.38]; por tanto, △ΑΒC = 2△ΑΕC. Pero también ▱FΕCG = 2△ΑΕC: porque tiene la la misma base que él y está entre las mismas paralelas [Prop. I.41]; por tanto, ▱FΕCG = 2△ΑΒC. Y tiene ∠CΕF = ∠D.
Q. E. D.