Si dos triángulos tienen dos ángulos del uno iguales respectivamente a dos ángulos del otro y un lado del uno igual a un lado del otro: ya sea el correspondiente a los ángulos iguales o el que subtiende uno de los ángulos iguales, tendrán también los lados restantes ¡guales a los lados restantes y el ángulo restante igual al ángulo restante.
Sean △ΑΒC, △DΕF dos triángulos que tienen ∠ΑΒC = ∠DΕF y ∠ΒCΑ = ∠ΕFD; y tengan también un lado igual a un lado, en primer lugar el correspondiente a los ángulos iguales: ΒC = ΕF . Digo que también tendrán los lados restantes iguales respectivamente a los lados restantes: ΑΒ = DΕ y ΑC = DF y ∠ΒΑC = ∠ΕDF.
Pues si ΑΒ ≠ DΕ, uno de ellos es mayor. Sea el mayor ΑΒ, y hágase ΒG = DΕ, y trácese GC .
Así pues, como ΒG = DΕ, y ΒC = ΕF, y ∠GΒC = ∠DΕF; por tanto, GC = DF, y △GΒC = △DΕF, y los ángulos restantes, subtendidos por los lados iguales, serán también iguales [Prop. I.4]; por tanto, ∠GCΒ = ∠DFΕ. Pero se ha supuesto que el ángulo ∠DFΕ = ∠ΒCΑ; por tanto, ∠ΒCG = ∠ΒCΑ, el menor al mayor; lo cual es imposible. Por tanto, ΑΒ = DΕ. Pero también ΒC = ΕF; entonces, ΑΒ = DE, ΒC =ΕF; y ∠ΑΒC = ∠DΕF; por tanto, ΑC = DF, y ∠ΒΑC = ∠ΕDF [Prop. I.4].
Pero sean iguales a su vez los lados que subtienden a los ángulos iguales, como ΑΒ = DΕ . Digo, asimismo, que los lados restantes también serán iguales a los lados restantes: ΑC = DF y ΒC = ΕF y además ∠ΒΑC = ∠ΕDF. Pues si ΒC ≠ΕF, uno de ellos es mayor. Sea el mayor, si es posible, ΒC y hágase ΒH = ΕF, y trácese ΑH . Y puesto que ΒH = ΕF y ΑΒ = DΕ, los dos lados ΑΒ = DE, ΒH = ΕF; y comprenden ángulos iguales; por tanto, ΑH = DF y △ΑΒH = △DΕF, y los ángulos restantes, subtendidos por los lados iguales serán también iguales [Prop. I.4]; por tanto, ∠ΒHΑ = ∠ΕFD. Pero ∠ΕFD = ∠ΒCΑ. Entonces el ángulo externo ∠ΒHΑ del triángulo △ΑHC es igual al ángulo interno y opuesto ∠ΒCΑ; lo cual es imposible; por tanto, ΒC = ΕF. Pero también ΑΒ = DΕ. Entonces los dos lados ΑΒ = DE, ΒC = ΕF; y comprenden ángulos iguales; por tanto, ΑC = DF, y △ΑΒC = △DΕF, y ∠ΒΑC = ∠ΕDF [Prop. I.4].
Q. E. D.