Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro y tienen iguales los ángulos comprendidos por los lados iguales, tendrán también las respectivas bases iguales, y un triángulo será igual al otro, y los ángulos restantes, a saber: los subtendidos por lados iguales, serán también iguales respectivamente.
Sean △ΑΒC, △DΕF, dos triángulos que tienen ΑΒ = DE, ΑC = DF, y ∠ΒΑC = ∠ΕDF . Digo que también ΒC = ΕF y que △ΑΒC = △DΕF y los ángulos restantes, subtendidos por los lados iguales, serán también iguales respectivamente, es decir, ∠ΑΒC = ∠DΕF, y ∠ΑCΒ = ∠DFΕ.
Pues si se aplica el triángulo △ΑΒC al triángulo △DΕF y el punto Α se coloca sobre el punto D y el lado ΑΒ sobre el lado DΕ, coincidirá también el punto Β sobre el punto Ε por ser ΑΒ = DΕ; ya que ΑΒ = DΕ, entonces ΑC = DF por ser igual ∠ΒΑC = ∠ΕDF; de modo que también el punto C coincidirá con el punto F por ser ΑC = ΑF. Pero también el punto Β había coincidido con el punto Ε; de modo que ΒC = ΕF, pues si habiendo coincidido el punto Β con el punto Ε y el punto C con el punto F, no coindice la base ΒC con la base ΕF, dos rectas encerrarán un espacio; lo cual es imposible. Por tanto, coincidirá la base ΒC con la base ΕF y ΒC = ΕF [N.C. 4]; de modo que también △ΑΒC coincidirá con el triángulo entero △DΕF y será igual a él , y los ángulos restantes coincidirán con los ángulos restantes y serán iguales a ellos, ∠ΑΒC = ∠DΕF y ∠ΑCΒ = ∠DFΕ .
Q. E. D.