Si una recta al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o la suma de los dos internos del mismo lado igual a dos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
Así pues, al incidir sobre las dos rectas ΑΒ, CD , haga la recta ΕF el ángulo externo ∠ΕGΒ igual al interno y opuesto ∠GHD, o la suma de los ángulos internos del mismo lado: ∠ΒGH+∠ GHD igual a dos rectos . Digo que ΑΒ es paralela a CD [Prop. I.27],
Pues como ∠ΕGΒ = ∠GHD, mientras que ∠ΕGΒ = ∠ΑGH [Prop. I.15] ; entonces ∠ΑGH = ∠GHD; y son alternos; por tanto, ΑΒ es paralela a CD [Prop. I.27]. Como los ángulos ∠ΒGH+ ∠GHD es igual a su vez a dos rectos, también ∠ΑGH+ ∠ΒGH es igual a dos rectos, por tanto, ∠ΑGH+∠ΒGH = ∠ΒGH+∠GHD; quítese de ambos el ángulo ∠ΒGH; entonces ∠ΑGH = ∠GHD; y son alternos. Por tanto, ΑΒ es paralela a CΑ [Prop. I.27].
Q. E. D.