Si un área está comprendida por una recta racional y una quinta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no racional llamada lado del cuadrado equivalente a un área racional más un área medial.
Esté, pues, comprendida el área AC por la recta racional AB y la quinta binomial AD dividida en sus términos por el punto E, de modo que AE sea el término mayor . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AC es la recta no racional llamada lado del cuadrado equivalente a un área racional más un área medial.
Sígase la misma construcción que en las demostraciones anteriores . Queda claro, entonces, que MO es el lado del cuadrado equivalente al área AC. Hay que demostrar ahora que MO es el lado del cuadrado equivalente a un área racional más un área medial. Pues como AG es inconmensurable con GE [Prop. X.18], entonces AH es inconmensurable con HE [Prop. VI.1; Prop. X.11], es decir el cuadrado de MN con el cuadrado de NO; entonces MN, NO son inconmensurables en cuadrado. Y como AD es una quinta bimedial, y el segmento ED es su segmento menor, entonces ED es conmensurable en longitud con AB [Def. Def. X-II-5]. Pero AE es inconmensurable con ED; entonces AB es también inconmensurable en longitud con AE [Prop. X.13]; luego AK, es decir la suma de los cuadrados de MN, NO es medial [Prop. X.21]. Y como DE es conmensurable en longitud con AB, es decir con EK, mientras que DE es conmensurable con EF, entonces EF es conmensurable con EK [Prop. X.12]. Luego EK es racional; entonces EL, es decir MR, esto es el rectángulo MNO es también racional [Prop. X.19]; luego MN, NO son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas racional. Por consiguiente, MO es el lado del cuadrado equivalente a un área racional más un área medial [Prop. X.40] y es el lado del cuadrado equivalente al área AC.
Q. E. D.