En un círculo el ángulo en el semicírculo es recto, el ángulo en el segmento mayor es menor que un recto, el ángulo en el segmento menor es mayor que un recto;
y además el ángulo del segmento mayor es mayor que un recto y el ángulo del segmento menor es menor que un recto.
Sea ΑΒCD el círculo
y sea ΒC su diámetro
y el centro Ε ,
y trácense ΒΑ, ΑC, ΑD, DC .
Digo que el ángulo ΒΑC en el semicírculo ΒΑC es recto, y el ángulo ΑΒC en el segmento ΑΒC mayor que el semicírculo es menor que un recto,
y el ángulo ΑDC en el segmento ΑDC menor que el semicírculo es mayor que un recto.
Trácese ΑΕ ,
y prolónguese ΒΑ hasta F .
Y como ΒΕ es igual a ΕA, el ángulo ABE es también igual al ángulo ΒΑΕ [Prop. I.5]. Como a su vez CΕ es igual a ΕΑ, el ángulo ΑCΕ es también igual
al ángulo CΑΕ [Prop. I.5]; por tanto, el ángulo entero ΒΑC es igual a los dos ángulos ΑΒC, ΑCΒ. Pero el ángulo FΑC exterior al triángulo ΑΒC
es también igual a los dos ángulos ΑΒC, ΑCΒ [Prop. I.32]; por tanto, el ángulo ΒΑC es también igual al ángulo FΑC; luego cada uno de ellos
es recto, [Def. I.10]; así pues, el ángulo ΒΑC en el semicírculo ΒΑC es recto.
Además, como los dos ángulos ΑΒC, ΒΑC del triángulo ΑΒC son menores que dos rectos [Prop. I.17], y el ángulo ΒΑC es recto, entonces el ángulo ΑΒC
es menor que un recto; y está en el segmento ΑΒC mayor que el semicírculo.
Y como ΑΒCD es un cuadrilátero en un círculo, y los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos rectos [Prop. III.22],
y el ángulo ΑΒC es menor que un recto, entonces el ángulo restante ΑDC es mayor que un recto; y está en el segmento ΑDC menor que el semicírculo.
Digo también que el ángulo del segmento mayor, el comprendido por la circunferencia ΑΒC y la recta ΑC es mayor que un recto, y que el ángulo del
segmento menor, el comprendido por la circunferencia ΑD[C] y la recta ΑC es menor que un recto. Y esto es claro de suyo. Pues como el ángulo
comprendido por las rectas ΒΑ, ΑC es recto, entonces el comprendido por la circunferencia ΑΒC y la recta ΑC es mayor que un recto. Asimismo,
como el ángulo comprendido por las rectas ΑC, ΑF es recto, entonces el comprendido por la recta CΑ y la circunferencia ΑD[C] es menor que un recto.
Por consiguiente, en un círculo el ángulo en el semicírculo es recto, el ángulo en el segmento mayor es menor que un recto, y el ángulo en el segmento
menor es mayor que un recto, y además el ángulo del segmento mayor, mayor que un recto, y el del segmento menor, menor que un recto.
Q. E.D.