Si una recta toca un círculo, y desde el punto de contacto se traza una línea recta formando ángulos rectos con la tangente, el centro del círculo estará en la recta trazada.
Toque, pues, una recta DΕ el círculo ΑΒC en el punto C y desde C trácese CΑ formando ángulos rectos con DΕ .
Digo que el centro del círculo está en ΑC.
Pues, supongamos que no, entonces, si es posible, sea F el centro y trácese CF .
Como una recta DΕ toca el círculo ΑΒC y FC ha sido trazada desde el centro al punto de contacto, entonces FC es perpendicular a DΕ [Prop. III.18]; por tanto, el ángulo FCΕ es recto. Pero el ángulo ΑCΕ también es recto; luego el ángulo FCΕ es igual al ángulo ΑCΕ, el menor al mayor; lo cual es imposible. Por tanto, F no es el centro del círculo ΑΒC. De manera semejante demostraríamos que ningún otro punto salvo un punto en ΑC.
Por consiguiente, si una recta toca un círculo, y desde el punto de contacto se traza una línea recta formando ángulos rectos con la tangente, el centro del círculo estará en la recta trazada.
Q. E. D.