Hallar el centro de un círculo dado.
Sea el círculo dado ΑΒC .
Hay que hallar el centro del círculo ΑΒC.
Trácese en él al azar una recta ΑΒ ,
y divídase en dos por el punto D ,
y a partir de A trácese DC perpendicular a ΑΒ y prolónguese hasta Ε ,
y divídase en dos partes iguales CΕ en F .
Digo que F es el centro del círculo ΑΒC.
Pues supongamos que no, entonces si es posible sea G el centro, y trácense GΑ, GD, GΒ . Ahora bien, como ΑD es igual a DΒ y DG es común, los dos lados ΑD, DG son iguales
respectivamente a los dos lados GD, DΒ; y la base GΑ es igual a la base GΒ, pues son radios; por tanto, el ángulo ΑDG es igual al ángulo GDΒ
[Prop. I.8]; pero cuando una recta
levantada sobre otra recta hace los ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto
[Def. I.10]; por tanto, el ángulo GDΒ es recto.
Pero también es recto el ángulo FDΒ; por tanto, el ángulo FDΒ es igual al ángulo GDΒ, el mayor al menor; lo cual es imposible. Luego G no es el centro del círculo ΑΒC.
De la misma manera demostraríamos que ningún otro lo es excepto F.
Por consiguiente, el punto F es el centro del círculo ΑΒC.
Q. E. F.