Si una recta toca un círculo, y se traza una recta desde el centro hasta el punto de contacto, la recta trazada será perpendicular a la tangente.
Toque, pues, una recta DΕ al círculo ΑΒC en el punto C , y tómese el centro F del círculo ΑΒC , y de F a C trácese FC .
Digo que FC es perpendicular a DΕ.
Pues si no, trácese, desde F, FG perpendicular a DΕ .
Así pues, como el ángulo FGC es recto, entonces el ángulo FCG es agudo [Prop. I.17]; pero al lado mayor lo subtiende el ángulo mayor [Prop. I.19]; por tanto, FC es mayor que FG; pero FC es igual a FΒ, por tanto, FΒ es mayor que FG, la menor que la mayor; lo cual es imposible; por tanto, FG no es perpendicular a DΕ. Entonces de manera semejante demostraríamos que ninguna otra es perpendicular excepto FC; por tanto, FC es perpendicular a DΕ.
Por consiguiente, si una recta toca un círculo, y se traza una recta desde el centro hasta el punto de contacto, la recta trazada será perpendicular a la tangente.
Q. E. D.