Si en un círculo se cortan dos rectas entre sí, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos de la otra.
Córtense, pues, en el círculo ΑΒCD las dos rectas ΑC, ΒD en el punto Ε .
Digo que el rectángulo comprendido por ΑΕ, ΕC es igual al rectángulo comprendido por DΕ, ΕΒ.
Así pues, si ΑC, ΒD pasan por el centro de modo que Ε sea el centro del círculo ΑΒCD, queda claro que siendo iguales ΑΕ, ΕC, DΕ, ΕΒ el rectángulo comprendido por ΑΕ, ΕC es también igual al rectángulo comprendido por DΕ, ΕΒ.
No pasen por el centro ΑC, DΒ y tómese el centro del círculo ΑΒCD y sea F , y trácense a partir de F, FG, FH perpendiculares a las rectas ΑC, DΒ y trácense FΒ, FC, FΕ .
Y puesto que una recta que pasa por el centro GF corta formando ángulos rectos a otra recta que no pasa por el centro ΑC, la divide también en dos partes iguales [Prop. III.3];
por tanto, ΑG es igual a GC. Así pues, como la recta ΑC se ha cortado en partes iguales en G y en desiguales en Ε, entonces el rectángulo comprendido por ΑΕ, ΕC junto con el
cuadrado de ΕG es igual al cuadrado de GC [Prop. II.5]; añádase el cuadrado de GF; entonces el rectángulo comprendido por ΑΕ, ΕC junto con los cuadrados de GΕ, GF es igual a los
cuadrados de CG, GF. Pero el cuadrado de FΕ es igual a los cuadrados de ΕG, GF, y el cuadrado de FC es igual a los cuadrados de CG, GF [Prop. I.47]; entonces el rectángulo
comprendido por ΑΕ, ΕC junto con FΕ es igual al cuadrado de FC. Pero FC es igual a FΒ; entonces el rectángulo comprendido por ΑΕ, ΕC junto con el cuadrado de ΕF es igual
al cuadrado de FΒ. Por lo mismo, el rectángulo comprendido por DΕ, ΕΒ junto con el cuadrado de FΕ es también igual al cuadrado de FΒ. Pero se ha demostrado asimismo,
que el rectángulo comprendido por ΑΕ, ΕC junto con el cuadrado de FΕ es igual al cuadrado de FΒ; entonces el rectángulo comprendido por ΑΕ, ΕC junto con el cuadrado de FΕ
es igual al rectángulo comprendido por DΕ, ΕΒ junto con el cuadrado de FΕ. Quítese de ambos el cuadrado de FΕ; entonces el rectángulo restante comprendido por ΑΕ, ΕC es
igual al rectángulo comprendido por DΕ, ΕΒ.
Por consiguiente, si en un círculo se cortan dos rectas entre sí, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos de la otra.
Q. E. D.