Si se toman dos puntos al azar en la circunferencia de un círculo, la recta que une los dos puntos caerá dentro del círculo.
Sea ΑΒC el círculo , y sobre su circunferencia tómense al azar dos puntos Α, Β.
Digo que la recta trazada desde a hasta Β caerá dentro del círculo.
Pues supongamos que no, entonces, si es posible, caiga fuera como ΑΕΒ , y tómese el centro del círculo ΑΒC [Prop. III.1],
y sea D , y trácese DΑ, DΒ , y prolónguense DFΕ . Así pues, como DΑ es igual a DΒ entonces también el ángulo DΑΕ es igual al ángulo DΒΕ
[Prop. I.5]; y como un lado ΑΕΒ del triángulo DΑΕ ha sido prolongado, entonces el ángulo DΕΒ es mayor que el ángulo DΑΕ
[Prop. I.16]. Pero el ángulo DΑΕ es igual al ángulo DΒΕ. Por tanto, el ángulo DΕΒ es mayor que el ángulo DΒΕ.
Ahora bien, al ángulo mayor lo subtiende el lado mayor [Prop. I.19]; entonces DΒ es mayor que DΕ. Pero DΒ es igual a DF.
Por tanto, DF es mayor que DΕ, el menor que el mayor; lo cual es imposible. Entonces la recta trazada de Α a Β no caerá fuera del círculo.
De la misma manera demostraríamos que tampoco caerá sobre la misma circunferencia; por tanto caerá dentro.
Por consiguiente, si se toman dos puntos al azar en la circunferencia de un círculo, la recta que une los puntos caerá dentro del círculo.
Q. E. D.