Sobre una recta dada, describir un segmento de círculo que admita un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado.
Sea ΑΒ la recta dada ,
y el ángulo rectilíneo dado el correspondiente a C .
Así pues, hay que describir sobre la recta dada ΑΒ un segmento de círculo que admita un ángulo igual al correspondiente a C.
El ángulo correspondiente a C es entonces o agudo, o recto u obtuso; sea en primer lugar agudo, y como en la primera figura, constrúyase en la recta ΑΒ y en su punto Α
el ángulo ΒΑD igual al ángulo correspondiente a C; entonces el ángulo ΒΑD es también agudo .
Trácese ΑΕ formando ángulos rectos con DA , y divídase en dos partes iguales ΑΒ
en el punto F ,
y trácese a partir del punto F, FG formando ángulos rectos con ΑΒ ,
y trácese GΒ .
Y como ΑF es igual a FΒ, y FG es común, los dos lados ΑF, FG son iguales a los dos lados ΒF, FG; y el ángulo ΑFG es igual al ángulo ΒFG; luego la base ΑG es igual a la base ΒG
[Prop. I.4]. Por tanto, el círculo descrito con el centro G y la distancia GA pasará también por Β. Descríbase y sea ΑΒΕ
, y trácese ΕΒ
.
Así pues, como ΑD forma ángulos rectos con ΑΕ a partir del extremo Α del diámetro ΑΕ, entonces ΑD toca el círculo ΑΒΕ [Cor. Prop. III.16];
así pues, como una recta ΑD toca
el círculo ΑΒΕ, y desde el punto de contacto A ha sido trazada una recta ΑΒ hasta el círculo ABE, entonces el ángulo DΑΒ es igual al ángulo ΑΕΒ en el segmento alterno
del círculo [Prop. III.32], Pero el ángulo DΑΒ es igual al correspondiente a C; luego el ángulo correspondiente a C es también igual al ángulo ΑΕΒ.
Por consiguiente, sobre la recta dada ΑΒ ha sido descrito el segmento de círculo ΑΕΒ que admite el ángulo ΑΕΒ igual al ángulo dado correspondiente a C
.
Ahora bien, sea recto el ángulo correspondiente a C ;
y haya que describir asimismo sobre ΑΒ
un segmento de círculo que admita un ángulo igual al ángulo recto correspondiente a C.
Constrúyase el ángulo ΒΑD igual al ángulo recto correspondiente a C como está en la segunda figura
y divídase en dos partes iguales ΑΒ en el punto F ,
y con el centro F y como
distancia una de las rectas FΑ, FΒ descríbase el círculo ΑΕΒ .
Entonces la recta ΑD toca el círculo ABE por ser recto el ángulo correspondiente a Α [Cor. Prop. III.16].
Y el ángulo ΒΑD es igual al ángulo en el segmento ΑΕΒ: porque siendo un
ángulo en un semicírculo también él es recto [Prop. III.31]. Pero el ángulo ΒΑD es también igual al correspondiente a C.
Entonces el ángulo en el segmento ΑΕΒ es igual al correspondiente a C .
Por consiguiente, también se ha descrito sobre ΑΒ el segmento de círculo ΑΕΒ que admite un ángulo igual al correspondiente a C .
Ahora bien, sea obtuso el ángulo correspondiente a C ;
y constrúyase sobre la recta ΑΒ
y en su punto A el ángulo ΒΑD igual a él como está en la tercera figura
; trácese ΑΕ formando
ángulos rectos con ΑD ,
y divídase de nuevo en dos partes iguales ΑΒ en el punto F ;
trácese FG formando ángulos rectos con ΑΒ ,
y trácese GΒ .
Y como ΑF es de nuevo igual a FΒ, y FG es común, los dos lados ΑF, FG son iguales a los dos lados ΒF, FG; y el ángulo ΑFG es igual al ángulo ΒFG; luego la base AG es igual a la
base ΒG [Prop. I.4]; por tanto, el círculo descrito con el centro G y la distancia GΑ
pasará también por Β. Pase como ΑΕΒ .
Y como ΑD forma ángulos rectos con el diámetro ΑΕ a partir
de un extremo, entonces ΑD es tangente al círculo ΑΕΒ [Cor. Prop. III.16]. Y AB se ha trazado a partir del punto de contacto A; por tanto,
el ángulo ΒΑD es igual al ángulo construido
en el segmento alterno de círculo ΑHΒ [Prop. III.32]. Pero el ángulo ΒΑD es igual al correspondiente a C. Así pues, el ángulo
en el segmento ΑHΒ también es igual al correspondiente a C.
Por consiguiente, sobre la recta dada ΑΒ se ha descrito el segmento de círculo ΑHΒ que admite un ángulo igual al correspondiente a C .
Q. E.F.