En un círculo, el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos tienen como base la misma circunferencia.
Sea el círculo ΑΒC
y sea el ángulo correspondiente a su centro ΒΕC ,
y el ángulo ΒΑC el correspondiente a la circunferencia ,
y tengan como base el mismo arco de circunferencia ΒC.
Digo que el ángulo ΒΕC es el doble del ángulo ΒΑC.
Una vez trazada la recta ΑΕ, prolónguese hasta F .
Así pues, como ΕΑ es igual a ΕΒ, el ángulo ΕΑΒ es también igual al ángulo ΕΒΑ [Prop. I.5]; por tanto, los ángulos ΕΑΒ, ΕΒΑ son el doble de ΕΑΒ.
Pero el ángulo ΒΕF es igual a los ángulos ΕΑΒ, ΕΒΑ [Prop. I.32]; por tanto, el ángulo ΒΕF es también el doble de ΕΑΒ. Por lo mismo, el ángulo FΕC es el doble del ángulo ΕΑC.
Luego el ángulo entero ΒΕC, es el doble del ángulo entero ΒΑC.
Trácese de nuevo una recta quebrada y sea el otro ángulo ΒDC ,
y, una vez trazada DΕ, prolónguese hasta G . De manera semejante demostraríamos que el ángulo GΕC es el doble del ángulo ΕDC,
de cuyas partes el ángulo GΕΒ es el doble del ángulo ΕDΒ; por tanto, el ángulo restante ΒΕC es el doble de ΒDC.
Por consiguiente, en un círculo el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos tienen como base la misma circunferencia.
Q. E. D.