En un círculo las rectas iguales están a la misma distancia del centro, y las que están a la misma distancia del centro son iguales entre sí.
Sea ΑΒCD el círculo , y sean iguales en él las rectas ΑΒ, CD
.
Digo que ΑΒ, CD están a la misma distancia del centro.
Tómese, pues, el centro del círculo ΑΒCD [Prop. III.1] y sea Ε
, y trácense ΕF, ΕG perpendiculares a ΑΒ, CD
, y trácense ΑΕ, ΕC
.
Y como una recta que pasa por el centro, la ΕF, corta formando ángulos rectos a otra recta que no pasa por el centro, la ΑΒ, también la divide en dos partes iguales [Prop. III.3], Por tanto, ΑF es igual a FΒ; luego ΑΒ es el doble de ΑF. Por lo mismo, CD es también el doble de CG; ΑΒ es, asimismo, igual a CD; por tanto, ΑF es también igual a CG Y como ΑΕ es igual a ΕC, el cuadrado de ΑΕ también es igual al cuadrado de ΕC. Pero los cuadrados de ΑF, ΕF son iguales al cuadrado de ΑΕ: porque el ángulo correspondiente a F es recto; y los cuadrados de ΕG, GC son iguales al cuadrado de ΕC: porque el ángulo correspondiente a G es recto [Prop. I.47]; por tanto, los cuadrados de ΑF, FΕ son iguales a los cuadrados de CG, GΕ, de los cuales el cuadrado de ΑF es igual al cuadrado de CG: porque ΑF es igual a CG; luego el cuadrado restante de FΕ es igual al cuadrado de ΕG; así pues, ΕF es igual a ΕG. Pero en un círculo se dice que dos rectas están a la misma distancia del centro, cuando las perpendiculares trazadas desde el centro hasta ellas son iguales [Def. III.4]; por tanto, ΑΒ, CD están a la misma distancia del centro.
Pero ahora estén a la misma distancia del centro las rectas ΑΒ, CD, es decir sea ΕF igual a ΕG.
Digo que ΑΒ también es igual a CD.
Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de modo similar que ΑΒ es el doble de ΑF, y CD el doble de CG; y como ΑΕ es igual a CΕ, el cuadrado de ΑΕ es igual al cuadrado de CΕ; pero los cuadrados de ΕF, FΑ son iguales al cuadrado de ΑΕ, y los cuadrados de ΕG, GC son iguales al cuadrado de CΕ [Prop. I.47]. Por tanto, los cuadrados de ΕF, FΑ son iguales a los cuadrados de ΕG, GC; de los cuales el cuadrado de ΕF es igual al cuadrado de ΕG; porque ΕF es igual a ΕG; luego el cuadrado restante de ΑF es igual al cuadrado de CG; así pues, ΑF es igual a CG; y ΑΒ es el doble de ΑF, y CD es el doble de CG; por tanto, ΑΒ es igual a CD.
Por consiguiente, en un círculo las rectas iguales están a la misma distancia del centro, y las que están a la misma distancia del centro son iguales entre sí.
Q. E. D.