Si se toma un punto fuera de un círculo y del punto al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta el círculo, y la otra cae sobre él, y además el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la que cae, la recta que cae tocará el círculo.
Tómese, pues, un punto D fuera del círculo ΑΒC ,
y de D al círculo ΑΒC caigan las dos rectas DCΑ, DΒ ;
corte DCΑ el círculo, y caiga DΒ, y sea el rectángulo comprendido por ΑD, DC
igual al cuadrado de DΒ.
Digo que DΒ toca el círculo ΑΒC.
Pues trácese DΕ tangente a ΑΒC ,
y tómese el centro del círculo ΑΒC, y sea F ,
y trácense FΕ, FΒ, FD . Entonces el ángulo FΕD es recto [Prop. III.18]. Y como DΕ toca el círculo ΑΒC y DCΑ
lo corta, entonces el rectángulo comprendido por ΑD, DC es igual al cuadrado de DΕ. Pues el rectángulo comprendido por ΑD, DC era también igual al cuadrado de DΒ; entonces el
cuadrado de DΕ es igual al cuadrado de DΒ; por tanto, DΕ es igual a DΒ. Pero FΕ es también igual a FΒ; entonces los dos lados DΕ, ΕF son iguales a los dos lados DΒ, ΒF;
y su base FD es común; por tanto, el ángulo DΕF es igual al ángulo DΒF [Prop. I.8]. Pero DΕF es recto; por tanto, el ángulo DΒF es recto. Y FΒ prolongada es un diámetro; pero
la recta trazada formando ángulos rectos con el diámetro de un círculo en un extremo toca el círculo [Cor. Prop. III.16]; por tanto, DΒ toca el círculo ΑΒC. De manera semejante
se demostraría si el centro se encontrara en ΑC.
Por consiguiente, si se toma un punto fuera de un círculo y del punto al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta el círculo, y la otra cae sobre él, y además el rectángulo
comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la que cae, la que cae tocará el círculo.
Q. E. D.