Los segmentos circulares semejantes que están sobre rectas iguales son iguales entre sí.
Estén, pues, sobre las rectas iguales ΑΒ, CD
los segmentos circulares semejantes ΑΕΒ, CFD .
Digo que el segmento ΑΕΒ es igual al segmento CFD.
Pues si se aplica el segmento ΑΕΒ al segmento CFD y se pone el punto A sobre el punto C y la recta ΑΒ sobre la recta CD, el punto Β coincidirá también con el punto D por ser
igual ΑΒ a CD; y habiendo coincidido ΑΒ con CD coincidirá también el segmento ΑΕΒ con el segmento CFD. Porque si la recta ΑΒ coincide con la recta CD pero el segmento ΑΕΒ
no coincide con el segmento CFD, o bien caerá dentro de él o fuera, o se desviará como el segmento CGD , y un círculo cortará a otro círculo en más de dos puntos; lo cual
es imposible [Prop. III.10]. Por tanto, no es
posible que coincidiendo la recta ΑΒ con la recta CD no coincida también el segmento ΑΕΒ con el segmento CFD; luego coincidirá con él y será igual a él.
Por consiguiente, segmentos circulares semejantes que están sobre rectas iguales son iguales entre sí.
Q. E. D.