Un círculo no toca a otro círculo en más de un punto, ya sea por dentro o por fuera.
Pues, si es posible, toque el círculo ΑΒCD al círculo ΕΒFD
en primer lugar por
dentro en más de un punto, a saber: en D, Β .
Y tómese el centro G del círculo ΑΒCD, y el centro H del círculo ΕΒFD .
Entonces la recta trazada de G a H caerá sobre Β, D [Prop. III.11]. Caiga como la recta ΒGHD .
Y como el punto G es el centro del círculo ΑΒCD, ΒG es igual a GD; entonces ΒG es mayor que HD; por tanto, ΒH es mucho mayor que HD. Como, a su vez, el punto H es el centro del círculo ΕΒFD, ΒH es igual a HD; pero se ha demostrado que también es mucho mayor que ella; lo cual es imposible; por tanto, un círculo no toca a otro círculo por dentro en más de un punto.
Digo, además, que tampoco por fuera.
Pues, si es posible, toque el círculo ΑCΚ al círculo ΑΒCD por fuera en más de un punto, a saber: en Α, C , y trácese ΑC .
Así pues, como se han tomado dos puntos al azar Α, C, sobre las circunferencias de los círculos ΑΒCD, ΑCΚ, la recta que une los puntos caerá en el interior de cada uno [Prop. III.2]. Ahora bien, ha caído dentro del círculo ΑΒCD, pero fuera de ΑCΚ [Def. III.3], lo cual es absurdo; por tanto, un círculo no toca otro círculo por fuera en más de un punto. Pero se ha demostrado que tampoco por dentro.
Por consiguiente, un círculo no toca a otro círculo en más de un punto ya sea por dentro o por fuera.
Q. E. D.