Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura son iguales entre sí.
Estén los sólidos paralelepípedos AE , CF sobre las bases iguales AB , CD , y tengan la misma altura . Digo que el sólido AE es igual al sólido CF.
Formen ángulos rectos, en primer lugar, las aristas laterales HK, BE, AG, LM, OP, DF, CQ, RS con las bases AB, CD y sea RT el resultado de prolongar en línea recta la recta CR , y constrúyase en la recta RT y en su punto R el ángulo TRY igual al ángulo ALB [Prop. I.23]; hágase RT igual a AL y RY igual a LB y complétese la base RX y el sólido UY . Pues bien, como las dos rectas TR, RY son iguales a las dos rectas AL, LB y comprenden ángulos iguales, entonces el paralelogramo RX es igual y semejante al paralelogramo HL. Y como AL es a su vez igual a RT y LM a RS, y comprenden ángulos rectos, entonces el paralelogramo RU es igual y semejante al paralelogramo AM. Por lo mismo, el paralelogramo LE es igual y semejante al paralelogramo SY; luego tres paralelogramos del sólido AE son iguales y semejantes a tres paralelogramos del sólido UY. Pero los tres primeros son iguales y semejantes a los tres opuestos y los otros tres a los tres opuestos [Prop. XI.24]; luego el sólido paralelepípedo entero AE es igual al sólido paralelepípedo entero UY [Def. XI.10]. Trácense DR, XY y encuéntrense en el punto W , y a través de T, trácese, A'TT' paralela a DW , y prolónguese OD hasta, A' , y complétense los sólidos WU , RI . Entonces el sólido UW cuya base es el paralelogramo RU y su cara opuesta WF' es igual al sólido UY cuya base es el paralelogramo RU y su cara opuesta YV: porque están sobre la misma base RU y tienen la misma altura y los extremos superiores de sus aristas laterales RW, RY, TT', TX, SS', SD', UF', UV están sobre las mismas rectas WX, S'V [Prop. XI.29]. Pero el sólido UY es igual al sólido AE. Luego el sólido UW es también igual al sólido AE. Ahora bien, como el paralelogramo RYXT es igual al paralelogramo WT —porque están sobre la misma base, RT, y entre las mismas paralelas RT, WX [Prop. I.35]— mientras que el paralelogramo RYXT es igual al paralelogramo CD —porque es igual también a AB—, entonces el paralelogramo WT es también igual al paralelogramo CD. Pero DT es otro paralelogramo; luego, como la base CD es a DT, así WT a DT [Prop. V.7]. Ahora bien, puesto que el sólido paralelepípedo CI ha sido cortado por el plano RF, que es paralelo a los planos opuestos, como la base CD es a la base DT, así el sólido CF al sólido RI [Prop. XI.25]. Por lo mismo, puesto que el sólido paralelepípedo WI ha sido cortado por el plano RU que es paralelo a los planos opuestos, como la base WT es a la base TD, así el sólido WU al sólido RI [Prop. XI.25]. Pero como la base CD es a la base DT, así WT a DT; entonces, como el sólido CF es al sólido RI, así el sólido WU al sólido RI [Prop. V.11]. Luego cada uno de los sólidos CF, WU guarda la misma razón con RI; así pues, el sólido CF es igual al sólido WU [Prop. V.9]. Pero se ha demostrado que WU es igual a AE; por tanto, AE es también igual a CF.
Ahora no formen ángulos rectos las aristas laterales AG, HK, BE, LM, CQ, OP, DF, RS con las bases AB, CD . Digo una vez más que el sólido AE es igual al sólido CF .
Pues trácense desde los puntos K, E, G, M, P, F, Q, S hasta el plano de referencia las perpendiculares KN, ET, GY, MV, PX, FU, QW, SI , y únanse con el plano en los puntos Q, T, Y, V, X, U, W, I. y trácense NT, NY, YV, TV, XW, WI, IU, UX . Entonces el sólido KV es igual al sólido PI : porque están sobre las bases iguales KM, PS y tienen la misma altura y sus aristas laterales forman ángulos rectos con las bases [1.ª parte de la proposición]. Pero el sólido KV es igual al sólido AE, y el sólido PI al sólido CF: porque están sobre la misma base y tienen la misma altura y los extremos superiores de sus aristas laterales no están sobre las mismas rectas [Prop. XI.30]. Luego el sólido AE es igual al sólido CF.
Por consiguiente, los sólidos paralelogramos que están sobre bases iguales y tienen la misma altura son iguales entre sí.
Q. E. D.