Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura, y en los que los extremos superiores de las aristas laterales están en las mismas rectas son iguales entre sí.
Estén sobre la misma base AB y tengan la misma altura los sólidos paralelepípedos CM , CN en los que los extremos de las aristas laterales AG, AF, LM, LN, CD, CE, BH, BK están en las mismas rectas FN, LK. Digo que el sólido CM es igual al sólido CN.
Pues como cada una de las figuras CH, CK es un paralelogramo, CB es igual a cada una de las rectas DH, EK [Prop. I.34]; de modo que DH es igual a EK. Quítese de ambas EH; entonces la recta restante DE es igual a la recta restante HK. De modo que el triángulo DCE es también igual al triángulo HBK [Prop. I.8, Prop. I.4] y el paralelogramo DG al paralelogramo HN [Prop. I.36]. Por lo mismo, el triángulo AFG es también igual al triángulo MLN. Pero el paralelogramo CF es también igual al paralelogramo BM y el paralelogramo CG al paralelogramo BN: porque son opuestos. Luego el prisma comprendido por los dos triángulos AFG, DCE y los tres paralelogramos AD, DG, CG es igual al prisma comprendido por los dos triángulos MLN, HBK y los tres paralelogramos BM, HN, BN. Añádase a uno y otro el sólido cuya base es el paralelogramo AB y su plano opuesto GEHM; entonces el sólido paralelepípedo entero CM es igual al sólido paralelepípedo entero CN.
Por consiguiente, los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura y en los que los extremos superiores de las aristas laterales están en las mismas rectas son iguales entre sí.
Q. E. D.