Trazar sobre una recta dada un sólido paralelepípedo semejante y situado de manera semejante a un sólido paralelepípedo dado.
Sea AB la recta dada y CD el sólido paralelepípedo dado . Así pues, hay que trazar sobre la recta dada AB un sólido paralelepípedo semejante y situado de manera semejante al sólido paralelepípedo dado CD.
Constrúyase, pues, en la recta AB y en su punto A un ángulo igual al ángulo sólido correspondiente a C comprendido por los ángulos BAH, HAK, KAB , de modo que el ángulo BAH sea igual al ángulo ECF, el ángulo BAK al ángulo ECG y el ángulo KAH al ángulo GCF; y hágase de forma que, como EC es a CG, así BA a AK, y como GC es a CF, así KA a AH [Prop. VI.12]. Luego, por igualdad, como EC es a CF, así BA a AH [Prop. V.22]. Complétese el paralelogramo HB y el sólido AH . Y dado que, como EC es a CG, así BA a AK, y los lados que comprenden los ángulos iguales ECG, BAK son proporcionales, entonces el paralelogramo GE es semejante al paralelogramo KB. Por lo mismo, el paralelogramo KH es semejante al paralelogramo GF y FE a HB; luego tres paralelogramos del sólido CD son semejantes a tres paralelogramos del sólido AH. Pero los tres primeros son iguales y semejantes a los tres opuestos y los otros tres son también iguales y semejantes a los tres opuestos; luego el sólido entero CD es semejante al sólido entero AH [Def. XI.9].
Por consiguiente, se ha trazado sobre la recta dada AB el sólido paralelepípedo AH semejante y situado de manera semejante al dado CD.
Q. E. F.