Todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos.
Sea comprendido el ángulo sólido correspondiente a A por los ángulos planos BAC, CAD, DAB . Digo que los ángulos BAC, CAD, DAB son menores que cuatro rectos.
Tómense, pues, al azar, los puntos B, C, D en las rectas AB, AC, AD respectivamente, y trácense BC, CD, DB . Y como el ángulo sólido correspondiente a B es comprendido por los tres ángulos planos CBA, ABD, CBD, dos cualesquiera son mayores que el restante [Prop. XI.20]. Luego los ángulos CBA, ABD son mayores que el ángulo CBD. Por lo mismo los ángulos BCA, ACD también son mayores que el ángulo BCD, y los ángulos CDA, ADB son mayores que el ángulo CDB; entonces los seis ángulos CBA, ABD, BCA, ACD, CDA, ADB son mayores que los tres ángulos CBD, BCD, CDB. Pero los tres ángulos CBD, BDC, BCD son iguales a dos rectos [Prop. I.32]. Luego los seis ángulos CBA, ABD, BCA, ACD, CDA, ADB son mayores que dos rectos. Y como los tres ángulos de cada uno de los triángulos ABC, ACD, ADB son iguales a dos rectos, entonces los nueve ángulos CBA, ACB, BAC, ACD, CDA, CAD, ADB, DBA, BAD de los tres triángulos son iguales a seis rectos, y de ellos los seis ángulos ABC, BCA, ACD, CDA, ADB, DBA son mayores que dos rectos; por tanto los tres ángulos restantes BAC, CAD, DAB que comprenden el ángulo sólido son menores que cuatro rectos.
Por consiguiente, todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos.
Q. E. D.