Si los lados de los planos opuestos de un cubo se dividen en dos partes iguales y se trazan planos a través de las secciones, la sección común de los planos y el diámetro del cubo se dividen mutuamente en dos partes iguales.
Divídanse en dos, pues, los lados de los planos opuestos CF , AH , del cubo AF por los puntos K, L, M, N, O, P, Q, R , y trácense los planos KN , OR a través de las secciones, y sea YS la sección común y DG la diagonal del cubo . Digo que YT es igual a TS y DT a TG .
Pues trácense DY, YE, BS, SG . Y como DO es paralela a QE, los ángulos alternos DOY, YQE son iguales entre sí [Prop. I.29]. Y como DO es igual a QE y OY a YQ y comprenden ángulos iguales, entonces la base DY es igual a la base YE y el triángulo DOY es igual al triángulo QYE y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes [Prop. I.4]. Luego el ángulo OYD es igual al ángulo QYE. Por eso DYO es una recta [Prop. I.14]. Por lo mismo BSG es también una recta, y BS es igual a SG. Y como CA es igual y paralela a DB, mientras que CA también es igual y paralela a EG, entonces DB es igual y paralela a EG [Prop. XI.9]. Y las rectas DE, BG las unen; luego DE es paralela a BG [Prop. I.33]. Por tanto, el ángulo EDT es igual al ángulo BGT, porque son alternos [Prop. I.29]; y el ángulo DTY es igual al ángulo GTS [Prop. I.15], Entonces DTY, GTS son dos triángulos que tienen dos ángulos del uno iguales a dos ángulos del otro y un lado igual a un lado, el que subtiende a uno de los ángulos iguales, DY que es igual a GS, porque son mitades de DE, BG; y tendrán también los lados restantes iguales a los lados restantes [Prop. I.26]. Por tanto, DT es igual a TG y YT a TS.
Por consiguiente, si se dividen en dos partes iguales los lados de los planos opuestos de un cubo, y se trazan planos a través de las secciones, la sección común de los planos y el diámetro del cubo se dividen mutuamente en dos partes iguales.
Q. E. D.