Si se levanta una recta formando ángulos rectos con dos rectas que se cortan una a otra en su sección común, formará también ángulos rectos con el plano que pasa a través de ellas.
Levántese, pues, una recta EF formando ángulos rectos a partir del punto E con dos rectas AB, CD que se cortan en el punto E . Digo que EF forma también ángulos rectos con el plano que pasa a través de AB, CD.
Pues tómense las rectas AE, EB, CE, ED iguales entre sí y trácese una recta al azar, GEH , por el punto E, y trácense AD, CB , y además, desde un punto al azar, F, de la recta EF, trácense FA, FG, FD, FC, FH, FB . Ahora bien, como las dos rectas AE, ED son iguales a las dos rectas CE, EB y comprenden ángulos iguales [Prop. I.4], entonces la base AD es igual a la base CB, y el triángulo AED será igual al triángulo CEB [Prop. I.15]; de modo que el ángulo DAE es igual al ángulo EBC. Pero el ángulo AEG es también igual al ángulo BEH [Prop. I.15]. Así pues AGE, BEH son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos respectivamente y un lado igual a un lado, el que corresponde a los ángulos iguales, esto es: el lado AE al lado EB; luego tendrá también los lados restantes iguales a los lados restantes [Prop. I.26]. Por tanto, GE es igual a EH y AG a BH. Y como AE es igual a EB, mientras que FE es común y forma ángulos rectos, entonces, la base FA es igual a la base FB [Prop. I.4]. Por lo mismo, FC también es igual a FD. Ahora bien, como AD es igual a CB, y FA es igual a FB, entonces, los dos lados FA, AD son iguales respectivamente a los dos lados FB, BC; pero se ha demostrado que también la base FD es igual a la base FC; luego el ángulo FAD es igual al ángulo FBC [Prop. I.8]. Y puesto que se ha demostrado que AG es a su vez igual a BH, mientras que FA es también igual a FB, entonces los dos lados FA, AG son iguales a los dos lados FB, BH. Y se ha demostrado que el ángulo FAG es también igual al ángulo FBH; así pues, la base FG es igual a la base FH [Prop. I.4]. Ahora bien, puesto que se ha demostrado que GE es a su vez igual a EH y EF es común, entonces los dos lados GE, EF son iguales a los dos lados HE, EF; y la base FG es igual a la base FH; entonces el ángulo GEF es igual al ángulo HEF [Prop. I.8]. Luego cada uno de los ángulos GEF, HEF es recto. Por tanto, FE forma ángulos rectos con GH trazada al azar por el punto E. De manera semejante demostraríamos que FE forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y que están en el plano de referencia. Pero una recta es ortogonal a un plano cuando forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y que están en el mismo plano [Def. XI.3]. Luego FE forma ángulos rectos con el plano de referencia. Y el plano de referencia es el que pasa a través de las rectas AB, CD. Por tanto FE forma ángulos rectos con el plano que pasa a través de las rectas AB, CD.
Por consiguiente, si se levanta una recta formando ángulos rectos con dos rectas que se cortan, en su sección común, formará también ángulos rectos con el plano que pasa a través de ellas.
Q. E. D.