Si tres rectas son proporcionales, el sólido paralelepípedo construido a partir de ellas es igual al sólido paralelepípedo construido a partir de la media proporcional, equilátero y equiangular con el antedicho sólido.
Sean proporcionales las tres rectas A, B, C , es decir que como A es a B, así B a C. Digo que el sólido construido a partir de A, B, C es igual al sólido construido a partir de B, equilátero y equiangular con el antedicho.
Póngase el ángulo sólido correspondiente a E comprendido por los ángulos DEG, GEF, FED, y háganse las rectas DE, GE, EF iguales a B respectivamente y complétese el sólido paralelepípedo EK ; hágase LM igual a A y constrúyase sobre la recta LM y en su punto L un ángulo sólido igual al ángulo sólido correspondiente a E, el comprendido por los ángulos NLQ, QLM, MLN ; hágase LQ igual a B y LN igual a C. Y dado que, como A es a B, así B a C, y A es igual a LM, y B a cada una de las rectas LQ, ED, y C a LN; entonces, como LM es a EF, así DE a LN. Y los lados que comprenden los ángulos iguales NLM, DEF están inversamente relacionados; entonces, el paralelogramo MN es igual al paralelogramo DF [Prop. VI.14]. Ahora bien, como DEF, NLM son dos ángulos planos rectilíneos iguales y se han levantado sobre ellos las rectas DQ, EG iguales entre sí y que comprenden ángulos iguales respectivamente con las rectas iniciales, entonces las perpendiculares trazadas de los puntos G, Q a los planos que pasan por NLM, DEF son iguales entre sí [Cor. Prop. XI.35]; de modo que los sólidos HL , EK tienen la misma altura. Pero los sólidos paralelepípedos que están sobre bases iguales y tienen la misma altura son iguales entre sí [Prop. XI.31]; luego el sólido LH es igual al sólido EK. Y LH es el sólido construido a partir de A, B, C, y EK el sólido construido a partir de B; por tanto, el sólido paralelepípedo construido a partir de A, B, C es igual al sólido construido a partir de B, equilátero y equiangular con el sólido antedicho.
Q. E. D.