Las bases de los sólidos paralelepípedos iguales están inversamente relacionadas con las alturas; y aquellos sólidos paralelepípedos cuyas bases están inversamente relacionadas con sus alturas son iguales.

Sean AB, CD sólidos paralelepípedos iguales. Digo que las bases de los sólidos paralelepípedos AB, CD están inversamente relacionadas con sus alturas, es decir que como la base EH es a la base NP, así la altura del sólido CD a la altura del sólido AB.

Formen, pues, en primer lugar, ángulos rectos con sus bases las aristas laterales AG, EF, LB, HK Paso 1, CM, NQ, OD, PR Paso 2. Digo que como la base EH es a la base NP, así CM a AG.

Así pues, si la base EH es igual a la base NP y el sólido AB es igual al sólido CD, CM será también igual a AG: porque los sólidos paralelepípedos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases [Prop. XI.32]. Y como la base EH es a la base NP, así CM a AG, y está claro que las bases de los sólidos paralelepípedos AB, CD están inversamente relacionadas con sus alturas. Ahora no sea igual la base EH a la base NP, sino que es mayor EH. Pero el sólido AB es igual al sólido CD, entonces CM es también mayor que AG. Así pues, hágase CT igual a AG y complétese, sobre la base NP y con la altura CT, el sólido paralelepípedo UC Paso 3. Y como el sólido AB es igual al sólido CD y el sólido CU está fuera y las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud [Prop. VI.7], entonces, como el sólido AB es al sólido CU, así el sólido CD al sólido CU. Pero como el sólido AB es al sólido CU, así la base EH a la base NP: porque los sólidos AB, CU son de la misma altura [Prop. XI.32]; pero como el sólido CD es al sólido CU, así la base MP a la base TP [Prop. XI.25] y CM a CT [Prop. VI.1]; luego como la base EH es a la base NP, así MC a CT. Pero CT es igual a AG; entonces, como la base EH es a la base NP, así MC a AG. Luego las bases de los sólidos paralelepípedos AB, CD están inversamente relacionadas con las alturas. Estén, ahora, las bases de los sólidos paralelepípedos AB, CD inversamente relacionadas con sus alturas, es decir que como la base EH es a la base NP, así la altura del sólido CD a la altura del sólido AB. Digo que el sólido AB es igual al sólido CD.

Formen, a su vez, las aristas laterales ángulos rectos con las bases. Y si la base EH es igual a la base NP, y como la base EH es a la base NP, así la altura del sólido CD a la altura del sólido AB, entonces la altura del sólido CD es igual a la altura del sólido AB. Pero los sólidos paralelepípedos que están sobre bases iguales y tienen la misma altura son iguales entre sí [Prop. XI.31]: luego el sólido AB es igual al sólido CD. Ahora no sea la base EH igual a la base NP, sino que EH sea mayor. Entonces la altura del sólido CD es también mayor que la altura del sólido AB, es decir CM mayor que AG. Gágase de nuevo CT igual a AG, y complétese de manera semejante el sólido CU. Y puesto que, como la base EH es a la base NP, así MC a AG, y AG es igual a CT, entonces, como la base EH es a la base NP, así CM a CT. Pero como la base EH es a la base NP, así el sólido AB al sólido CU: porque los sólidos AB, CU son de la misma altura [Prop. XI.32], Y como CM es a CT, así la base MP a la base PT [Prop. VI.1] y el sólido CD al sólido CU; y como el sólido AB es al sólido CU, así el sólido CD al sólido CU; luego cada uno de los sólidos AB, CD guarda la misma razón con CU. Por tanto, el sólido AB es igual al sólido CD [Prop. V.9].

Ahora no formen las aristas laterales FE, BL, GA, HK Paso 4, QN, DO, MC, RP Paso 5 ángulos rectos con sus bases y trácense, desde los puntos F, G, B, K, Q, M, D, R, perpendiculares a los planos que pasan por EH, NP, y únanse con los planos en los puntos S, T, Y, U, X, W, V, Z, y complétense los sólidos FU Paso 6, QW Paso 7. Digo que también en este caso, si los sólidos AB, CD son iguales, sus bases están inversamente relacionadas con sus alturas, es decir que como la base EH es a la base NP, así la altura del sólido CD a la altura del sólido AB.

Puesto que el sólido AB es igual al sólido CD, mientras que AB es igual a BT: porque están sobre la misma base, FK, y tienen la misma altura [Prop. XI.29, Prop. XI.30]; pero el sólido CD es igual al sólido DV: porque están, a su vez, sobre la misma base RQ y tienen la misma altura [Prop. XI.29, Prop. XI.30]. Entonces, el sólido BT es igual al sólido DV; por tanto, como la base FK es a la base QR, así la altura del sólido DV a la altura del sólido BT [1.ª parte]. Pero la base FK es igual a la base EH y la base QR a la base NP; entonces, como la base EH es a la base NP, así la altura del sólido DV a la altura del sólido BT. Pero las alturas de los sólidos DV, BT son las mismas que las de DC, BA; luego como la base EH es a la base NP, así la altura del sólido DC a la altura del sólido AB. Por tanto, las bases de los sólidos paralelepípedos AB, CD están inversamente relacionadas con sus alturas. Ahora estén inversamente relacionadas con sus alturas las bases de los sólidos AB, CD es decir que como la base EH es a la base NP, así la altura del sólido CD a la altura del sólido AB. Digo que el sólido AB es igual al sólido CD.

Pues, siguiendo la misma construcción, dado que, como la base EH es a la base NP, así la altura del sólido CD a la altura del sólido AB, y la base EH es igual a la base FK, mientras que la base NP es igual a la base QR, entonces, como la base FK es a la base QR, así la altura del sólido CD a la altura del sólido AB. Pero los sólidos AB, CD y los sólidos BT, DV tienen las mismas alturas respectivamente, entonces, como la base FK es a la base QR, así la altura del sólido DV es a la altura del sólido BT. Luego las bases de los sólidos paralelepípedos BT, DV están inversamente relacionadas con sus alturas. Por tanto, el sólido BT es igual al sólido DV [1.ª]. Pero el sólido BT es igual al sólido BA: porque están sobre la misma base, FK, y tienen la misma altura [Prop. XI.29, Prop. XI.30]. Y el sólido DV es igual al sólido CD [Prop. XI.29, Prop. XI.30].

Por consiguiente, el sólido AB es igual al sólido CD.

Q. E. D.