Si un ángulo sólido es comprendido por tres ángulos planos, dos cualesquiera, tomados juntos de cualquier manera, son mayores que el restante.
Sea comprendido el ángulo sólido correspondiente a A por los tres ángulos planos BAC, CAD, DAB . Digo que dos cualesquiera de los ángulos BAC, CAD, DAB, tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.
Pues bien, si los ángulos BAC, CAD, DAB son iguales entre sí, está claro que dos cualesquiera son mayores que el restante. Pero si no, sea mayor el ángulo BAC y constrúyase sobre la recta AB y en su punto A el ángulo BAE igual al ángulo DAB en el plano que pasa a través de BAC ; hágase AE igual a AD, y corte la recta BEC trazada por el punto E a las rectas AB, AC en los puntos B, C, y trácense DB, DC . Ahora bien, como DA es igual a AE y AB es común, dos lados son iguales a dos lados; y el ángulo DAB es igual al ángulo BAE; entonces la base DB es igual a la base BE [Prop. I.4]. Y como los dos lados BD, DC son mayores que BC [Prop. I.20], de los cuales se ha demostrado que DB es igual a BE, entonces el restante DC es mayor que el restante EC. Ahora bien, como DA es igual a AE, y AC es común y la base DC es mayor que la base EC, entonces el ángulo DAC es mayor que el ángulo EAC [Prop. I.25]. Pero se ha demostrado que el ángulo DAB es igual al ángulo BAE; luego los ángulos DAB, DAC son mayores que el ángulo BAC. De manera semejante demostraríamos que también los restantes tomados juntos dos a dos son mayores que el restante.
Por consiguiente, si un ángulo sólido es comprendido por tres ángulos planos, dos cualesquiera tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.
Q. E. D.