Si un sólido es comprendido por planos paralelos, sus planos opuestos son iguales y paralelogramos.
Sea comprendido el sólido CDHG por los planos paralelos AC, GF , AH, DF , BF, AE . Digo que sus planos opuestos son iguales y paralelogramos.
Pues como los dos planos paralelos BG, CE se cortan por el plano AC, sus secciones comunes son paralelas [Prop. XI.16]. Entonces AB es paralela a DC. Como los dos planos paralelos BF, AE se cortan a su vez por el plano AC, sus secciones comunes son paralelas [Prop. XI.16]. Entonces BC es paralela a AD. Pero se ha demostrado que AB es paralela a DC; luego AC es un paralelogramo. De manera semejante demostraríamos que cada uno de los planos DF, FG, GB, BF, AE es un paralelogramo. Trácense las rectas AH, DF . Y como AB es paralela a DC y BH a CF, entonces las dos rectas que se tocan AB, BH son paralelas a las dos rectas que se tocan DC, CF sin estar en el mismo plano. Luego comprenderán ángulos iguales [Prop. I.10]. Por tanto el ángulo ABH es igual al ángulo DCF. Y como los dos lados AB, BH son iguales a los dos lados DC, CF [Prop. I.34], y el ángulo ABH es igual al ángulo DCF, entonces la base AH es igual a la base DF, y el triángulo ABH es igual al triángulo DCF [Prop. I.4]. Ahora bien, el paralelogramo BG es el doble del triángulo ABH y el paralelogramo CE es doble del triángulo DCF [Prop. I.34]; luego el paralelogramo BG es igual al paralelogramo CE. De manera semejante demostraríamos que el paralelogramo AC es igual al paralelogramo GF y el paralelogramo AE al paralelogramo BF.
Por consiguiente, si un sólido es comprendido por planos paralelos, sus planos opuestos son iguales y paralelogramos.
Q. E. D.