Si un sólido paralelepípedo es cortado por un plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, como la base es a la base, así será el sólido al sólido.
Sea cortado, pues, el sólido paralelepípedo ABCD por el plano FG que es paralelo a los planos opuestos RA, DH . Digo que como la base AEFU es a la base EHCF, así el sólido ABFY es al sólido EGCD.
Pues prolónguese AH por cada lado y hágase un número cualquiera de rectas AK, KL iguales a AE , y un número cualquiera de rectas HM, MN iguales a EH , y complétense los paralelogramos LO, KU, HX, MS y los sólidos AP , KR, DM, MT . Ahora bien, como las rectas LK, KA, AE son iguales entre sí, los paralelogramos LO, KU, AF son también iguales entre sí, y KQ, KB, AG son iguales entre sí y además LV, KP, AR son iguales entre sí: porque son opuestos [Prop. XI.24]. Por la misma razón, los paralelogramos EC, HX, MS son también iguales entre sí, y los paralelogramos HG, HI, IN son también iguales entre sí, y además los paralelogramos DH, MW, NT son iguales entre sí; entonces, en los sólidos LP, KR, AY tres planos son iguales a tres planos. Y los tres planos son iguales a los tres opuestos. Luego los tres sólidos LP, KR, AY son iguales entre sí. Por lo mismo, los tres solidos ED, DM, MT son iguales entre sí; así pues, cuantas veces la base LF es múltiplo de la base AF, tantas es múltiplo el sólido LY del sólido AY. Por lo mismo, cuantas veces la base NF es múltiplo de la base FH, tantas es múltiplo el sólido NY del sólido HY. Y si la base LF es igual a la base NF, el sólido LY es igual al sólido NY, y si la base LF excede a la base NF, el sólido LY excede al sólido NY, y si uno es deficiente el otro es deficiente. Por tanto, habiendo cuatro magnitudes, a saber: las dos bases AF, FH y los dos sólidos AY, YH, se han tomado como equimúltiplos de la base AF y del sólido AY, la base LF y el sólido LY, y de la base HF y el sólido HY, la base NF y el sólido NY, y se ha demostrado que si la base LF excede a la base FN, el sólido LY excede también al sólido NY, y si es igual, es igual y si es deficiente, es deficiente.
Por consiguiente, como la base AF es a la base FH, así el sólido AY al sólido YH.
Q. E. D.