Si dos rectas son paralelas y se toman unos puntos al azar en cada una de ellas, la recta que une los puntos está en el mismo plano que las paralelas.
Sean AB, CD dos rectas paralelas y tómense al azar en cada una de ellas los puntos E, F respectivamente . Digo que la recta que une los puntos E, F está en el mismo plano que las paralelas.
Pues supongamos que no, y si fuera posible, esté en un plano más elevado como EGF , y trácese un plano que pase a través de EGF, entonces producirá una recta como sección en el plano de referencia [Prop. XI.3]. Prodúzcala como la recta EF ; entonces las dos rectas EGF, EF encerrarán un espacio; lo cual es imposible; luego la recta trazada de E a F no está en un plano más elevado; por tanto, la recta trazada de E a F está en el plano que pasa a través de las paralelas AB, CD.
Por consiguiente, si dos rectas son paralelas y se toman unos puntos al azar en cada una de ellas, la recta que une los puntos está en el mismo plano que las paralelas.
Q. E. D.