Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen un número cuadrado, son números planos semejantes.
Sean A, B los dos números y A, al multiplicar a B, haga el número cuadrado C . Digo que A, B son números planos semejantes.
Pues haga A, al multiplicarse por sí mismo, el número D , entonces D es cuadrado. Y dado que A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número D y, al multiplicar a B, ha hecho el número C, entonces, como A es a B, así D es a C [Prop. VIII.17]. Y puesto que D es cuadrado y C también, entonces D, C son números planos semejantes. Luego entre D, C cae un número que es media proporcional [Prop. VIII.18]. Ahora bien, como D es a C, así A a B. Por tanto, entre A, B cae un número que es media proporcional [Prop. VIII.18]. Pero, si entre dos números cae un número que es media proporcional, los números son planos semejantes [Prop. VIII.20].
Por consiguiente, A, B son números planos semejantes.
Q. E. D.