Si un número cubo, al multiplicar a algún número, hace un número cubo, el número multiplicado también será cubo.
Pues haga el número cubo A , al multiplicar a un número B , el número cubo C . Digo que B es cubo.
Pues A, al multiplicarse por sí mismo, haga el número D ; entonces D es cubo [Prop. IX.3], y dado que A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho el número D y, al multiplicar a B, ha hecho el número C, entonces, como A es a B, D es a C [Prop. VII.17]. Ahora bien, puesto que D, C son cubos, son sólidos semejantes. Por tanto, entre D, C caen dos números que son medias proporcionales [Prop. VIII.19]. Ahora bien, como D es a C, así A es a B; entonces también entre A, B caen dos números que son medias proporcionales [Prop. VIII.8][. Pero A es cubo.
Por consiguiente, también B es cubo [Prop. VIII.23],
Q. E. D.