Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son primos entre sí, como el primero es al segundo, el último no será a ningún otro.
Sean A, B, C, D tantos números como se quiera continuamente proporcionales y sean sus extremos, A, D, primos entre sí. Digo que como A es a B, así D a ningún otro.
Pues, si fuera posible, sea D a E como A a B ; entonces, por alternancia, como A es a D, B es a E [Prop. VIII.13]. Pero A, D son primos, y los primos son también los menores [Prop. VII.21], y los números menores miden a los que guardan la misma razón el mismo número de veces, el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]. Entonces, A mide a B. Ahora bien, como A es a B, así B a C. Entonces, B mide también a C. De modo que A mide también a C. Y dado que, como B es a C, C es a D y B mide a C, entonces C también mide a D. Pero A medía a C; de modo que A mide también a D. Pero se mide también a sí mismo. Entonces, A mide a A, D, que son primos entre sí; lo cual es imposible.
Por consiguiente, como A es a B, D no será a ningún otro.
Q. E. D.