Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, por cuantos números primos sea medido el último, por los mismos será medido también el siguiente a la unidad.
Sean A, B, C, D cuantos números se quiera proporcionales a partir de una unidad . Digo que por cuantos números primos sea medido D, por los mismos será medido A.
Pues sea medido D por algún número primo E . Digo que E mide a A.
Pues supongamos que no; pero E es primo, y todo número primo es primo con respecto al número al que no mide [Prop. VII.29]; entonces E, A son primos entre sí. Y ya que E mide a D, mídalo según las unidades de F . Entonces E, al multiplicar a F, ha hecho el número D. Y puesto que, a su vez, A mide a D según las unidades de C [Prop. IX.11], entonces A, al multiplicar a C, ha hecho el número D. Pero, en efecto, E, al multiplicar a F, ha hecho también el número D; entonces, el producto de A, C es igual al producto de E, F. Así pues, como A es a E, F es a C [Prop. VII.19]. Pero A, E son primos, y los primos son también los menores [Prop. VII.21], y los menores miden a los que guardan la misma razón con ellos el mismo número de veces, el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]; entonces E mide a C. Mídalo según G ; entonces E, al multiplicar a G, ha hecho el número C. Pero, además, por la proposición anterior, A, al multiplicar a B, ha hecho también el número C [Cor. Prop. IX.11]. Así pues, el producto de A, B es igual al producto de E, G. Por tanto, como A es a E, G es a B [Prop. VII.19]. Pero A, E son primos, y los primos son también los menores [Prop. VII.21], y los números menores miden a los que guardan la misma razón que ellos el mismo número de veces, el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]; por tanto, E mide a B. Mídalo según H ; entonces E, al multiplicar a H, ha hecho el número B. Pero además A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho también el número B [Prop. IX.8]. Por tanto, el producto de E, H es igual al cuadrado de A. Luego, como E es a A, A es a H [Prop. VII.19]. Pero A, E son primos, y los primos son los menores [Prop. VII.2], y los menores miden a los que guardan la misma razón que ellos el mismo número de veces, el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]; así pues, E mide a A como el antecedente al antecedente. Pero, por otra parte, no lo mide. Lo cual es imposible. Entonces E, A no son primos entre sí, luego son compuestos. Pero los compuestos son medidos por un número [Def. VII.15]. Ahora bien, como se ha supuesto que E es primo, y el número primo no es medido por otro número que no sea él mismo, entonces E mide a A, E; de modo que E mide a A. Y mide también a D: entonces E mide a A, D. De manera semejante demostraríamos que por cuantos números primos sea medido D, por los mismos será medido A.
Q. E. D.