Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su suma total resulte un número primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será un número perfecto.
Pues dispónganse tantos números como se quiera, A , B , C , D , a partir de una unidad en proporción duplicada hasta que su suma total resulte un número primo, y sea E igual al total , y E, al multiplicar a D, haga FG . Digo que FG es un número perfecto.
Pues cuantos números son en cantidad A, B, C, D, tómense tantos números E, HK , L , M en proporción duplicada a partir de E; entonces, por igualdad, como A es a D, así E a M [Prop. VII.14]. Así pues, el producto de E, D es igual al producto de A, M [Prop. VII.19]. Ahora bien, el producto de E, D es FG; entonces el producto de A, M es también FG. Luego A, al multiplicar a M, ha hecho FG; por tanto, M mide a FG según las unidades de A. Pero A es una díada; luego FG es el doble de M. Pero M, L, HK, E son sucesivamente el doble uno de otro; entonces E, HK, L, M, FG son continuamente proporcionales en proporción duplicada.
Ahora, del segundo HK y del último FG quítense HN , FO respectivamente iguales a E. Entonces, como el exceso del segundo número es al primero, así es el exceso del último a todos los anteriores a él [Prop. IX.35]. Así pues, como NK es a E, así OG a M, L, KH, E. Y NK es igual a E; entonces OG también es igual a M, L, HK, E. Pero FO también es igual a E, y E a A, B, C, D y la unidad. Así pues, el total FG también es igual a los números E, HK, L, M y a los números A, B, C, D y la unidad; y es medido por ellos. Digo que FG no será medido por ningún otro fuera de A, B, C, D, E, HK, L, M y la unidad. Pues, de ser posible, mida un número P a FG, y no sea P el mismo que ninguno de los números A, B, C, D, E, HK, L, M. Y cuantas veces P mida a FG, tantas unidades haya en Q ; entonces Q, al multiplicar a P, ha hecho FG. Pero, en efecto, E, al multiplicar a D, ha hecho también FG; entonces, como E es a Q, P es a D [Prop. VII.19]. Y puesto que A, B, C, D son continuamente proporcionales a partir de una unidad, entonces D no será medido por ningún otro fuera de A, B, C [Prop. IX.13]. Ahora bien, se ha supuesto que P no es el mismo que ninguno de los números A, B, C; por tanto, P no medirá a D. Pero, como P es a D, E es a Q; entonces E tampoco mide a Q [Def. VII.21]. Y E es primo. Pero todo número primo es primo con respecto a todo aquel al que no mide [Prop. VII.29]. Así pues, E, Q son primos entre sí. Pero los primos son también los menores [Prop. VII.21] y los menores miden a los que guardan la misma razón que ellos el mismo número de veces, el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]; ahora bien, como E es a Q, P es a D; entonces, E mide a P el mismo número de veces que Q a D. Pero D no es medido por ningún otro fuera de A, B, C; luego Q es el mismo que uno de los números A, B, C. Sea el mismo que B y cuantos son B, C, D en cantidad tómense tantos E, HK, L a partir de E. Ahora bien, E, HK, L guardan la misma razón que B, C, D; entonces, por igualdad, como B es a D, E es a L [Prop. VII.14]. Luego el producto de B, L es igual al producto de D, E [Prop. VII.19]; pero el producto de D, E es igual al producto de Q, P; entonces el producto de Q, P es igual al producto de B, L. Luego como Q es a B, L es a P [Prop. VII.14]. Pero Q es el mismo que B; entonces L es el mismo que P; lo cual es imposible, porque se ha supuesto que P no era el mismo que ninguno de los números puestos, luego ningún número medirá a FG fuera de A, B, C, D, E, HK, L, M y la unidad. Y se ha demostrado que FG es igual a A, B, C, D, E, HK, M y la unidad. Pero un número perfecto es el que es igual a sus propias partes [Def. VII.23].
Por consiguiente, FG es un número perfecto.
Q. E. D.