Dados tres números, investigar cuándo es posible hallar un cuarto proporcional a ellos.
Sean A, B, C los tres números dados y sea lo requerido investigar cuándo es posible hallar un cuarto proporcional a ellos.
Pues bien, o no son continuamente proporcionales y sus extremos son primos entre sí, o son continuamente proporcionales y sus extremos no son primos entre sí, o ni son continuamente proporcionales ni sus extremos son primos entre sí, o son continuamente proporcionales y sus extremos son primos entre sí.
Si, en efecto, A, B, C son continuamente proporcionales y sus extremos A, C son primos entre sí, se ha demostrado que es imposible hallar un número cuarto proporcional a ellos [Prop. IX.17].
No sean ahora A, B, C continuamente proporcionales, siendo sus extremos, a su vez, primos entre sí. Digo que, en este caso, también es imposible hallar un cuarto proporcional a ellos.
Pues, si fuera posible, hállese D , de modo que como A es a B, así C a D. Y resulte que, como B es a C, así D a E , y dado que, como A es a B, C es a D, y como B es a C, D es a E, entonces, por igualdad, como A es a C, C es a E [Prop. VII.14]. Pero A, C son primos, y los primos son los menores [Prop. VII.21] y los menores miden a los que guardan la misma razón, el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente [Prop. VII.20]. Entonces, A mide a C como antecedente a antecedente. Pero también se mide a sí mismo. Entonces, A mide a A, C, que son primos entre sí, lo cual es imposible. Así pues, no es posible hallar un cuarto proporcional a A, B, C.
Ahora sean A, B, C continuamente proporcionales pero no sean sus extremos primos entre sí. Digo que es posible hallar un cuarto proporcional a ellos.
Pues haga B, al multiplicar a C, el número D; entonces A o mide a D o no lo mide. En primer lugar mídalo según E; entonces A, al multiplicar a E, ha hecho el número C.
Pero, en efecto, B, al multiplicar a C, ha hecho también el número D; entonces el producto de A, E es igual al producto de B, C. Luego, proporcionalmente, como A es a B, C es a E [Prop. VII.19]; por tanto, se ha hallado el cuarto proporcional E de A, B, C.
Pero ahora no mida A a D. Digo que es imposible hallar un número cuarto proporcional a A, B, C.
Pues, si fuera posible, hállese E; entonces, el producto de A, E es igual al producto de B, C [Prop. VII.19]. Pero el producto de B, C es D; luego el producto de A, E es igual a D. Por tanto, A, al multiplicar a E, ha hecho el número D. Entonces A mide a D según E; de modo que A mide a D. Pero asimismo no lo mide; lo cual es absurdo. Así pues, no es posible hallar un número cuarto proporcional a A, B, D, cuando A no mide a D.
Pero ahora, ni sean A, B, D continuamente proporcionales, ni sus extremos primos entre sí. Y haga B, al multiplicar a C, el número D. De manera semejante se demostraría que, si A mide a D, es posible hallar un cuarto proporcional a ellos, pero, si no lo mide, es imposible.
Q. E. D.